売却した年の固定資産税はどうなるのですか？

固定資産税は、その年の１月１日現在の所有者に課税されます。
（固定資産税の基本となる３年に１度、評価替えがありますので価格が前後する）
その為、売却後も納税通知書が届くケースがあります。
但し、引渡日を基準日として、日割計算された金額を買主から頂く事になります。